Valeurs propres & Vecteurs propres Prioritaire
La notion centrale de tout le cours — indispensable pour l'ACP, la diagonalisation et la matrice de covariance.
1. L'intuition géométrique
Quand on applique une transformation linéaire \(A\) à un vecteur, celui-ci change généralement de direction et de longueur. Mais il existe des vecteurs très spéciaux dont la direction reste inchangée après transformation — ils sont simplement étirés ou comprimés. Ce sont les vecteurs propres. Le facteur d'étirement est la valeur propre.
Un vecteur \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\) est un vecteur propre de la matrice \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\) si et seulement si :
A : matrice carrée \((n \times n)\) ·
v : vecteur propre (non nul) ·
λ : valeur propre (scalaire, peut être négatif ou nul)
2. Visualisation interactive
Modifie les coefficients de \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\). Les vecteurs colorés sont les vecteurs propres — observe qu'ils restent dans leur direction après la transformation (flèches transparentes = image par \(A\)).
Trait pointillé = axe de direction invariante. Flèche pleine = vecteur propre. Flèche transparente = image Av.
3. Comment calculer — méthode complète
Former \((A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\)
On réécrit \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\) sous la forme \((A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\). Pour qu'un vecteur non nul \(\mathbf{v}\) soit solution, la matrice \((A-\lambda I)\) doit être singulière (non inversible).
Résoudre le polynôme caractéristique
Une matrice est singulière si et seulement si son déterminant vaut 0. On pose donc \(\det(A - \lambda I) = 0\). Ce polynôme en \(\lambda\) s'appelle le polynôme caractéristique. Ses racines sont les valeurs propres.
Trouver les vecteurs propres associés
Pour chaque valeur propre \(\lambda_k\), résoudre le système linéaire homogène \((A - \lambda_k I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\). L'ensemble des solutions forme l'espace propre associé à \(\lambda_k\).
Cela donne : \(\lambda^2 - \underbrace{(a+d)}_{\text{tr}(A)}\lambda + \underbrace{(ad-bc)}_{\det(A)} = 0\)
4. Exemple numérique complet
Calculons les valeurs et vecteurs propres de \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)
\(\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(2-\lambda) - (1)(0) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3) = 0\)
Valeurs propres : \(\boldsymbol{\lambda_1 = 2}\) et \(\boldsymbol{\lambda_2 = 3}\)
\((A - 2I)\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0}\)
Équation : \(v_1 + v_2 = 0\) donc \(v_2 = -v_1\). On choisit \(v_1 = 1\) :
\(\boldsymbol{\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}}\)
\((A - 3I)\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0}\)
Équation : \(v_2 = 0\). On choisit \(v_1 = 1\) :
\(\boldsymbol{\mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}\)
\(A\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = \lambda_1\mathbf{v_1}\) ✓
5. Propriétés importantes
\(\text{tr}(A) = \sum_i \lambda_i\)
La somme des valeurs propres = somme des éléments diagonaux
\(\det(A) = \prod_i \lambda_i\)
Le produit des valeurs propres = déterminant de A
Tout multiple non nul d'un vecteur propre est aussi vecteur propre pour la même valeur propre
Si \(A = A^T\), les vecteurs propres sont orthogonaux et les valeurs propres sont réelles — cas clé pour l'ACP
🔖 À retenir / À l'examen
- Formule centrale : \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\) équivalent à \(\det(A - \lambda I) = 0\)
- \(\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n\) — utile pour vérifier rapidement
- \(\det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n\) — si un \(\lambda = 0\), alors A est singulière
- Un vecteur propre n'est jamais unique : tout multiple non nul est aussi vecteur propre
- En ACP : les axes principaux = vecteurs propres de la matrice de covariance, triés par \(\lambda\) décroissant
- Piège fréquent : ne pas oublier de normaliser les vecteurs propres quand c'est demandé (\(\|\mathbf{v}\| = 1\))