Changement de Base
Exprimer un vecteur ou une application dans une nouvelle base — formule de la matrice de passage, fortement attendu à l'examen.
1. Pourquoi changer de base ?
Un même vecteur peut avoir des coordonnées très différentes selon la base choisie. En ACP, on "change de base" pour se placer dans la base des vecteurs propres — où la matrice de covariance devient diagonale, ce qui simplifie tout. C'est l'essence même de la diagonalisation.
2. Matrice de passage
La matrice de passage \(P\) de la base canonique \(E\) vers une nouvelle base \(B' = (b_1, b_2, \dots, b_n)\) est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs de la nouvelle base exprimés dans l'ancienne.
3. Formules clés
\([\mathbf{v}]_{B'} = P^{-1} \cdot [\mathbf{v}]_E\) — pour passer de l'ancienne base à la nouvelle, on multiplie par \(P^{-1}\).
\([f]_{B'} = P^{-1} \cdot [f]_E \cdot P\) — formule de changement de base pour une application linéaire. C'est la formule de diagonalisation.
Si la nouvelle base est orthonormée (vecteurs propres normés), alors \(P^{-1} = P^T\). La formule devient : \([f]_{B'} = P^T \cdot [f]_E \cdot P\). C'est exactement ce qu'on fait en ACP !
4. Visualisation interactive
Définis une nouvelle base \(B' = (b_1, b_2)\) et observe comment les coordonnées d'un vecteur \(\mathbf{v}\) changent dans cette nouvelle base.
Vecteurs de la nouvelle base B'
Vecteur à exprimer
5. Exemple numérique
Soit \(B' = \left(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\right)\) et \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\). Trouver \([\mathbf{v}]_{B'}\).
\(P = \begin{pmatrix}1 & -1\\1 & 1\end{pmatrix}\) (colonnes = vecteurs de B')
\(\det(P) = 1\cdot1 - (-1)\cdot1 = 2\) donc \(P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\-1 & 1\end{pmatrix}\)
\([\mathbf{v}]_{B'} = P^{-1}\mathbf{v} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\-1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1.5\\-0.5\end{pmatrix}\)
\(1.5 \cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} + (-0.5) \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1.5+0.5\\1.5-0.5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} = \mathbf{v}\) ✓
🔖 À retenir / À l'examen
- Matrice de passage \(P\) : colonnes = vecteurs de la nouvelle base dans l'ancienne
- Changer les coordonnées d'un vecteur : \([\mathbf{v}]_{B'} = P^{-1}[\mathbf{v}]_E\)
- Changer la matrice d'une application : \([f]_{B'} = P^{-1}[f]_E P\)
- Si base orthonormée : \(P^{-1} = P^T\) — simplification majeure (cas de l'ACP)
- Piège : ne pas confondre \(P\) et \(P^{-1}\) — sens du changement important