Module 6

AFC — Analyse Factorielle des Correspondances

Analyser les associations entre deux variables qualitatives à partir d'un tableau de contingence — l'ACP des données catégorielles.

1. Objectif et domaine d'application

Quand utilise-t-on l'AFC ?

L'AFC s'applique aux tableaux de contingence — tableaux croisant deux variables qualitatives (nominales). Elle cherche à visualiser les associations entre les modalités des deux variables dans un plan factoriel, à l'image de ce que fait l'ACP pour des variables quantitatives.

AFC vs ACP — similitudes et différences

DonnéesACP : tableau de mesures quantitatives continuesAFC : tableau de contingence (effectifs)

DistanceACP : distance euclidienne ou de MahalanobisAFC : distance du χ² (pondérée par les fréquences)

InertieACP : variance — trace de la matrice de corrélationAFC : χ²/n — mesure de l'association globale

SymétrieACP : lignes et colonnes jouent des rôles différentsAFC : lignes et colonnes jouent des rôles symétriques

2. Le tableau de contingence

Notations

Soit un tableau \(K\) de \(n\) lignes et \(p\) colonnes. \(k_{ij}\) = effectif de la cellule (i,j). \(k_{i.} = \sum_j k_{ij}\) = total ligne. \(k_{.j} = \sum_i k_{ij}\) = total colonne. \(k = \sum_{i,j} k_{ij}\) = total général.

\[ f_{ij} = \frac{k_{ij}}{k} \quad f_{i.} = \frac{k_{i.}}{k} \quad f_{.j} = \frac{k_{.j}}{k} \]

fᵢⱼ : fréquence relative · fᵢ. : fréquence marginale ligne (profil moyen de la ligne i) · f.ⱼ : fréquence marginale colonne
Hypothèse d'indépendance : \(f_{ij} = f_{i.} \times f_{.j}\) pour tout i, j

3. Profils lignes et colonnes

Profils lignes

Le profil ligne de la modalité \(i\) est la distribution conditionnelle des colonnes pour cette ligne : \((f_{ij}/f_{i.})_j\). La somme de chaque profil = 1. Le profil moyen = fréquences marginales des colonnes \((f_{.j})_j\).

Profils colonnes

Le profil colonne de la modalité \(j\) est \((f_{ij}/f_{.j})_i\). Le profil moyen = fréquences marginales des lignes \((f_{i.})_i\).
Indépendance ↔ tous les profils lignes sont identiques au profil moyen, et tous les profils colonnes aussi.

4. La distance du χ²

\[ d^2(i,i') = \sum_{j=1}^p \frac{1}{f_{.j}} \left(\frac{f_{ij}}{f_{i.}} - \frac{f_{i'j}}{f_{i'.}}\right)^2 \]

Distance entre deux profils lignes \(i\) et \(i'\). Pondérée par \(1/f_{.j}\) → normalise par la fréquence de chaque colonne.
Propriété d'équivalence distributionnelle : regrouper deux modalités de colonne avec le même profil ne change pas la distance entre lignes.

\[ d^2(j,j') = \sum_{i=1}^n \frac{1}{f_{i.}} \left(\frac{f_{ij}}{f_{.j}} - \frac{f_{ij'}}{f_{.j'}}\right)^2 \]

Distance entre deux profils colonnes \(j\) et \(j'\), pondérée par \(1/f_{i.}\).

5. Inertie totale et test du χ²

\[ I = \frac{\chi^2}{n} = \sum_{i,j} \frac{(f_{ij} - f_{i.}f_{.j})^2}{f_{i.}f_{.j}} \]

I : inertie totale = mesure globale de l'association entre les deux variables
χ² : statistique du khi-deux de Pearson = \(n \sum_{i,j} (f_{ij}-f_{i.}f_{.j})^2/(f_{i.}f_{.j})\)
Sous indépendance : \(\chi^2 \sim \chi^2((n-1)(p-1))\)
Inertie totale = somme des valeurs propres = \(\sum_\alpha \lambda_\alpha\)

6. Exercice complet — données examen MTH1620

Tableau des effectifs K

	Eau	Soda	Jus	Bière	Total
Jeunes	5	25	10	10	50
Adultes	10	10	10	10	40
Seniors	15	5	5	5	30
Total	30	40	25	25	120

Q2 — Tableau des fréquences (%)

✅ Réponse — diviser chaque cellule par 120

	Eau	Soda	Jus	Bière	Total
Jeunes	4.17%	20.83%	8.33%	8.33%	41.67%
Adultes	8.33%	8.33%	8.33%	8.33%	33.33%
Seniors	12.50%	4.17%	4.17%	4.17%	25.00%
Total	25%	33.33%	20.83%	20.83%	100%

Q3 — Profil ligne "Jeunes" et interprétation

✅ Calcul

Profil ligne = effectifs de la ligne / total de la ligne. Pour Jeunes (total = 50) :

Eau	Soda	Jus	Bière	Total
5/50 = 10%	25/50 = 50%	10/50 = 20%	10/50 = 20%	100%

Profil moyen (fréquences marginales des colonnes) : Eau 25%, Soda 33%, Jus 21%, Bière 21%

Interprétation : Les Jeunes sur-consomment le Soda (50% vs 33% en moyenne) et sous-consomment l'Eau (10% vs 25%). Leur profil diffère nettement du profil moyen → forte association entre jeunesse et soda.

Q4 — Définition et calcul du χ² total

✅ Définition

Le χ² total mesure l'écart global entre les effectifs observés et les effectifs théoriques sous l'hypothèse d'indépendance :

\[\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(k_{ij} - k_{i.}k_{.j}/k)^2}{k_{i.}k_{.j}/k} = n \sum_{i,j} \frac{(f_{ij} - f_{i.}f_{.j})^2}{f_{i.}f_{.j}}\]

Calcul partiel (cellule Jeunes/Soda) :

Effectif théorique = \(50 \times 40/120 = 16.67\)

Contribution = \((25 - 16.67)^2 / 16.67 = 69.39/16.67 \approx 4.16\)

Interprétation : Plus χ² est grand, plus l'association entre les deux variables est forte. Sous indépendance, \(\chi^2 \sim \chi^2((3-1)(4-1)) = \chi^2(6)\). Si χ² > valeur critique → on rejette l'indépendance.

Q5 — Inertie totale et part expliquée par λ₁ = 0.12

✅ Calcul

Calcul du χ² : en sommant toutes les contributions (cellule par cellule) :

	Eau	Soda	Jus	Bière
Jeunes	4.167	4.167	0.167	0.167
Adultes	0.833	2.083	0.417	0.417
Seniors	5.208	4.688	0.521	0.521

\(\chi^2 \approx 4.167+4.167+0.167+0.167+0.833+2.083+0.417+0.417+5.208+4.688+0.521+0.521 \approx 23.36\)

Inertie totale : \(I = \chi^2/n = 23.36/120 \approx 0.1947\)

Part expliquée par λ₁ = 0.12 : \(\tau_1 = \lambda_1/I = 0.12/0.1947 \approx 61.6\%\)

Commentaire : Le premier axe capte environ 62% de l'inertie totale — il explique la majeure partie de l'association entre âge et boisson. C'est une bonne représentation sur ce seul axe.

Q6 — Interprétation du premier axe factoriel

Coordonnées sur l'axe 1 (données)

Lignes : Jeunes = +0.3, Adultes = 0.0, Seniors = −0.4

Colonnes : Soda = +0.4, Eau = −0.3, Jus = −0.1, Bière = 0.0

✅ Interprétation

Côté positif (F1 > 0) : Jeunes et Soda. Les jeunes préfèrent le soda.

Côté négatif (F1 < 0) : Seniors et Eau. Les seniors préfèrent l'eau.

Centre (F1 ≈ 0) : Adultes et Bière — pas d'association marquée avec l'axe 1.

Sens de l'axe 1 : il oppose les jeunes consommateurs de soda aux seniors consommateurs d'eau. C'est un axe de génération : plus on va vers les positifs, plus on est jeune et orienté soda ; plus on va vers les négatifs, plus on est âgé et orienté eau.

Règle : en AFC, les modalités qui ont des coordonnées de même signe sur un axe sont associées entre elles — elles "co-apparaissent" plus que sous indépendance.

7. Plan factoriel AFC — visualisation

▶ Plan factoriel AFC — modalités lignes et colonnes simultanées

● Tranches d'âge (lignes) · ◆ Boissons (colonnes) · Modalités proches = association forte

8. Bonus — ACP vs AFC (question bonus de l'examen)

Similitudes

Les deux méthodes cherchent une représentation en basse dimension maximisant l'inertie capturée. Les deux diagonalisent une matrice pour trouver les axes factoriels. Les deux utilisent des valeurs propres/vecteurs propres, des taux d'inertie et des plans factoriels.

Différences

Données : ACP = quantitatives continues · AFC = qualitatives (tableau de contingence)
Distance : ACP = euclidienne · AFC = distance du χ² (pondérée)
Rôle des axes : ACP = asymétrique (individus vs variables) · AFC = symétrique (lignes et colonnes représentées simultanément)
Quand choisir : ACP si variables quantitatives continues, AFC si deux variables nominales et tableau de contingence.

📌 À retenir / À l'examen AFC

AFC = ACP des tableaux de contingence — variables qualitatives
Profil ligne de i : \((f_{ij}/f_{i.})_j\) · Profil moyen = \((f_{.j})_j\)
Distance du χ² : \(d^2(i,i') = \sum_j \frac{1}{f_{.j}}(f_{ij}/f_{i.} - f_{i'j}/f_{i'.})^2\)
Inertie totale : \(I = \chi^2/n = \sum_\alpha \lambda_\alpha\)
Taux d'inertie de l'axe α : \(\lambda_\alpha / I\)
Indépendance ↔ tous les profils lignes = profil moyen ↔ χ² = 0 ↔ I = 0
Interprétation : modalités de même côté = associées · modalités opposées = anti-associées
Équivalence distributionnelle : fusionner deux colonnes identiques ne change pas les distances entre lignes

🧠 Quiz de validation

Que signifie l'hypothèse d'indépendance dans un tableau de contingence ?

Pourquoi la distance du χ² pondère-t-elle par \(1/f_{.j}\) ?

Dans l'examen, l'inertie totale I ≈ 0.1947 et λ₁ = 0.12. Que vaut τ₁ ?

Dans le plan factoriel AFC, Jeunes et Soda sont du même côté positif de l'axe 1. Que peut-on conclure ?

← ANOVA Retour à l'accueil →