Module 1 — Algèbre

Matrices & Opérations

Les briques fondamentales — addition, multiplication, transposée, trace, déterminant, inverse.

1. Qu'est-ce qu'une matrice ?

Définition

Une matrice \(A\) de taille \(m \times n\) est un tableau rectangulaire de \(m\) lignes et \(n\) colonnes. L'élément à la ligne \(i\) et colonne \(j\) est noté \(a_{ij}\).

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n} \]

2. Les opérations essentielles

Addition

Terme à terme — matrices de même taille uniquement. \((A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\)

Multiplication scalaire

Multiplier chaque coefficient par le scalaire. \((\lambda A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}\)

Transposée

Échanger lignes et colonnes. \((A^T)_{ij} = a_{ji}\). Si \(A = A^T\) : matrice symétrique.

Trace

Somme des éléments diagonaux. \(\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}\). Propriété : \(\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)\)

3. Multiplication matricielle

Règle fondamentale

Le produit \(AB\) est défini seulement si le nombre de colonnes de \(A\) = nombre de lignes de \(B\). Si \(A \in \mathbb{R}^{m \times p}\) et \(B \in \mathbb{R}^{p \times n}\), alors \(AB \in \mathbb{R}^{m \times n}\).

\[ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj} \]

Le coefficient \((i,j)\) du produit = produit scalaire de la ligne \(i\) de \(A\) par la colonne \(j\) de \(B\).
⚠ Attention : \(AB \neq BA\) en général — la multiplication matricielle n'est pas commutative !

▶ Calculateur de produit matriciel 2×2

Matrice A

Matrice B

AB =

—

tr(A)

—

det(A)

—

A⁻¹ existe ?

—

4. Déterminant

Pourquoi c'est important

Le déterminant mesure le "facteur de volume" d'une transformation. Si \(\det(A) = 0\), la matrice est singulière (non inversible) — c'est exactement la condition utilisée pour trouver les valeurs propres.

\[ \det\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} = ad - bc \]

Propriétés clés : \(\det(AB) = \det(A)\cdot\det(B)\) · \(\det(A^T) = \det(A)\) · \(\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)\) pour \(A \in \mathbb{R}^{n\times n}\)

5. Matrice inverse

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\end{pmatrix} \quad \text{si } \det(A) \neq 0 \]

Propriété : \(A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I\) · \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)

🔖 À retenir / À l'examen

Produit \(AB\) : possible seulement si colonnes(A) = lignes(B) — vérifier les dimensions en premier
\(AB \neq BA\) en général — ne jamais commuter sans vérification
\(\det(A) = 0 \Leftrightarrow A\) non inversible \(\Leftrightarrow\) colonnes/lignes linéairement dépendantes
\(\text{tr}(A) = \sum \lambda_i\) et \(\det(A) = \prod \lambda_i\) — lien direct avec les valeurs propres
Matrice symétrique : \(A = A^T\) — propriété cruciale de la matrice de covariance en ACP

🧠 Quiz de validation

Soit \(A \in \mathbb{R}^{2\times3}\) et \(B \in \mathbb{R}^{3\times4}\). Quelle est la taille de \(AB\) ?

Si \(\det(A) = 0\), que peut-on affirmer ?

Quelle est la trace de \(\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}\) ?

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