Module 1 — Algèbre

Applications Linéaires

Représentation matricielle, noyau, image, théorème du rang — le lien entre algèbre abstraite et calcul matriciel.

1. Définition

Pourquoi ?

Une application linéaire \(f : E \to F\) est une fonction qui "respecte" les opérations vectorielles — elle transforme des espaces vectoriels en préservant les combinaisons linéaires. Toute application linéaire peut être représentée par une matrice.

\[ f(\alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}) = \alpha f(\mathbf{u}) + \beta f(\mathbf{v}) \]

Une application est linéaire si et seulement si elle satisfait cette condition pour tous vecteurs \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\) et scalaires \(\alpha, \beta\).

2. Représentation matricielle

Comment construire la matrice

Pour représenter \(f\) dans une base \(B = (e_1, \dots, e_n)\), on calcule l'image de chaque vecteur de base, puis on écrit les coordonnées en colonnes. La \(j\)-ème colonne de la matrice = coordonnées de \(f(e_j)\).

\[ [f]_B = \Big( [f(e_1)]_B \mid [f(e_2)]_B \mid \cdots \mid [f(e_n)]_B \Big) \]

Chaque colonne = image du vecteur de base correspondant, exprimée dans la base d'arrivée.

3. Noyau et Image

▶ Structure d'une application linéaire f : E → F

Espace de départ E

ℝⁿ

dim = n

Ker(f) ⊂ E

dim(Ker) = ?

→

Espace d'arrivée F

ℝᵐ

dim = m

Im(f) ⊂ F

dim(Im) = ?

n (dim départ) 4

rang(f) 3

Noyau — Ker(f)

\(\ker(f) = \{\mathbf{v} \in E \mid f(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}\) — l'ensemble des vecteurs envoyés sur le vecteur nul. Toujours un sous-espace de \(E\). Si \(\ker(f) = \{\mathbf{0}\}\), alors \(f\) est injective.

Image — Im(f)

\(\text{Im}(f) = \{f(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in E\} = f(E)\) — l'ensemble de tous les vecteurs "atteignables" par \(f\). Sous-espace de \(F\). Si \(\text{Im}(f) = F\), alors \(f\) est surjective.

4. Théorème du rang

Théorème fondamental (à connaître par cœur)

\[ \dim(\ker f) + \dim(\text{Im}\, f) = \dim(E) = n \]

Aussi écrit : nullité + rang = n · Le rang est la dimension de l'image = nombre de colonnes linéairement indépendantes de la matrice.

🔖 À retenir / À l'examen

Noyau + Image : toujours vérifier le théorème du rang \(\dim\ker + \dim\text{Im} = n\)
Injectivité \(\Leftrightarrow \ker(f) = \{\mathbf{0}\} \Leftrightarrow \dim\ker = 0\)
Surjectivité \(\Leftrightarrow \text{Im}(f) = F \Leftrightarrow \text{rang}(f) = \dim(F)\)
Bijectivité \(\Leftrightarrow\) injective ET surjective \(\Leftrightarrow f\) inversible
La matrice d'une application = colonnes = images des vecteurs de base

🧠 Quiz de validation

Si \(f : \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^3\) a un rang de 3, quelle est la dimension du noyau ?

Une application \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) avec \(\ker(f) = \{\mathbf{0}\}\) est :

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