ANOVA — Analyse de la Variance
Tester si plusieurs groupes ont la même moyenne en décomposant la variance totale en variance inter-groupes et intra-groupes.
1. Objectif et domaine d'application
L'ANOVA à un facteur permet de comparer les moyennes de k groupes (k ≥ 2) sur une variable quantitative continue. Elle généralise le test t à plus de deux groupes. Question typique : "Les rendements agricoles sont-ils significativement différents selon le type d'engrais utilisé ?"
H₀ — Hypothèse nulle
Toutes les moyennes de groupe sont égales :
\(\mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k\)
Les différences observées sont dues au hasard.
H₁ — Hypothèse alternative
Au moins une paire de moyennes diffère :
\(\exists i \neq j : \mu_i \neq \mu_j\)
Le facteur a un effet significatif.
2. Hypothèses du modèle
1. Normalité : les observations dans chaque groupe suivent une loi normale.
2. Homoscédasticité : les variances sont égales dans tous les groupes (\(\sigma_1^2 = \cdots = \sigma_k^2\)).
3. Indépendance : les observations sont indépendantes entre elles.
Ces hypothèses peuvent être vérifiées par des tests (Shapiro-Wilk pour la normalité, Levene pour l'homoscédasticité).
3. Modèle statistique
yᵢⱼ : j-ième observation du groupe i ·
μ : moyenne générale ·
αᵢ : effet du groupe i (avec Σαᵢ = 0) ·
εᵢⱼ : erreur aléatoire ~ N(0, σ²)H₀ équivaut à : tous les αᵢ = 0
4. Décomposition de la variance — SCT = SCE + SCR
La variance totale des observations se décompose en deux parties : la variance entre les groupes (due au facteur) et la variance à l'intérieur des groupes (résiduelle, due au hasard). Si SCE >> SCR, le facteur a un effet réel.
SCT : Somme des Carrés Totale (variance totale) ·
SCE : Somme des Carrés Entre groupes (variance inter) ·
SCR : Somme des Carrés Résiduelle (variance intra)ȳ : moyenne générale ·
ȳᵢ : moyenne du groupe i ·
nᵢ : taille du groupe i
5. Degrés de liberté et carrés moyens
| Source | SC | ddl | Carré Moyen | F |
|---|---|---|---|---|
| Entre groupes (facteur) | SCE | \(k-1\) | \(\text{CME} = \frac{\text{SCE}}{k-1}\) | \(F = \frac{\text{CME}}{\text{CMR}}\) |
| Résiduelle (intra) | \text{SCR} | \(n-k\) | \(\text{CMR} = \frac{\text{SCR}}{n-k}\) | — |
| Totale | \text{SCT} | \(n-1\) | — | — |
6. La statistique de Fisher F
k : nombre de groupes ·
n : effectif total ·
F(k−1, n−k) : loi de Fisher-Snedecor sous H₀Règle de décision : on rejette H₀ si \(F_{\text{obs}} > F_{\alpha}(k-1, n-k)\) (valeur critique au seuil α)
Ou de manière équivalente si la p-valeur < α (généralement α = 0.05)
7. Visualisation interactive
Écart entre groupes :
8. Exemple numérique complet
3 types d'engrais (k=3), 4 parcelles chacun (n=12). Rendements en kg/m² :
| Engrais A | Engrais B | Engrais C |
|---|---|---|
| 4.2 | 5.8 | 6.5 |
| 4.5 | 6.1 | 6.8 |
| 3.9 | 5.5 | 7.1 |
| 4.4 | 6.2 | 6.6 |
| ȳᵢ = 4.25 | ȳᵢ = 5.90 | ȳᵢ = 6.75 |
\(\bar{y} = \frac{4.25+5.90+6.75}{3} = \frac{16.90}{3} \approx 5.633\) (ou directement sur les 12 valeurs)
\(\text{SCE} = 4(4.25-5.633)^2 + 4(5.90-5.633)^2 + 4(6.75-5.633)^2\)
\(= 4(1.912)^2 + 4(0.071)^2 + 4(1.250)^2 = 4(3.656+0.005+1.563) \approx 20.896\)
Groupe A : \((4.2-4.25)^2+(4.5-4.25)^2+(3.9-4.25)^2+(4.4-4.25)^2 = 0.0025+0.0625+0.1225+0.0225 = 0.21\)
Groupes B et C similaires → \(\text{SCR} \approx 0.21 + 0.26 + 0.27 = 0.74\)
\(\text{CME} = 20.896/(3-1) = 10.448\) · \(\text{CMR} = 0.74/(12-3) = 0.082\)
\(F = 10.448/0.082 \approx 127.4\)
F critique F₀.₀₅(2,9) ≈ 4.26 → F_obs (127.4) >> F_crit → on rejette H₀ ✓
Conclusion : le type d'engrais a un effet significatif sur le rendement.
9. Tests post-hoc (comparaisons multiples)
Rejeter H₀ indique qu'au moins un groupe diffère, mais pas lesquels. Les tests post-hoc comparent toutes les paires de groupes tout en contrôlant le risque de première espèce :
Test de Tukey (HSD) : compare toutes les paires, contrôle l'erreur familiale.
Test de Bonferroni : divise le seuil α par le nombre de comparaisons.
Test de Scheffé : plus conservateur, pour toutes combinaisons linéaires.
📌 À retenir / À l'examen
- Modèle : \(y_{ij} = \mu + \alpha_i + \varepsilon_{ij}\) · H₀ : tous \(\alpha_i = 0\)
- Décomposition : \(\text{SCT} = \text{SCE} + \text{SCR}\)
- SCE : variance due au facteur · SCR : variance résiduelle (bruit)
- Degrés de liberté : SCE → k−1 · SCR → n−k · SCT → n−1
- Statistique : \(F = \text{CME}/\text{CMR} = \frac{\text{SCE}/(k-1)}{\text{SCR}/(n-k)} \sim F(k-1,n-k)\) sous H₀
- Décision : rejeter H₀ si F_obs > F_crit ou p-valeur < α
- Hypothèses : normalité + homoscédasticité + indépendance
- Si F grand → SCE >> SCR → effet du facteur significatif