Inertie, Qualité de représentation & Contributions
Taux d'inertie, cos², contributions — les trois outils pour évaluer et interpréter la qualité d'une ACP.
1. Inertie liée aux axes
La valeur propre \(\lambda_\alpha\) est l'inertie (= variance) du nuage projeté sur l'axe \(\alpha\). Plus elle est grande, plus l'axe "explique" la dispersion des données. Le taux d'inertie mesure la part de variance totale capturée par les \(q\) premiers axes :
Règle de lecture : un bon plan factoriel (2 axes) capte idéalement 60-70% ou plus de l'inertie totale.
2. Qualité de représentation — cos²
La qualité de représentation d'un individu \(i\) sur l'axe \(\alpha\) mesure quelle part de son "éloignement" au centre de gravité est capturée par cet axe :
ψαi : coordonnée de l'individu i sur l'axe α ·
d²(i,G) : distance au carré de l'individu i au centre de gravité\(\sum_\alpha \cos^2(i,\alpha) = 1\) pour chaque individu · Plus cos² est proche de 1, mieux l'individu est représenté sur l'axe.
Pour les variables, cos² sur l'axe \(\alpha\) = carré de la coordonnée \(\varphi_{\alpha j}\) dans le cercle des corrélations (déjà dans \([-1,1]\)) :
Lecture pratique : dans le cercle des corrélations, les variables proches du bord ont cos² ≈ 1 sur le plan — elles sont bien représentées.
3. Contributions des individus aux axes
La contribution de l'individu \(i\) à l'inertie de l'axe \(\alpha\) mesure dans quelle mesure cet individu a "construit" cet axe. Un individu avec une forte contribution est un individu atypique qui "tire" l'axe vers lui :
mᵢ : masse de l'individu i (= \(1/n\) si tous égaux) ·
ψαi : coordonnée sur l'axe α ·
λα : inertie de l'axe αPropriété : \(\sum_{i=1}^n \text{CTR}_\alpha(i) = 1\) pour chaque axe.
En pratique avec masses égales : \(\text{CTR}_\alpha(i) = \psi_{\alpha i}^2 / (n\lambda_\alpha)\)
4. Choisir le nombre d'axes à retenir
Règle de Kaiser (ACP normée)
On retient les axes dont la valeur propre est supérieure à 1 (= supérieure à l'inertie moyenne = 1 en ACP normée). Un axe avec \(\lambda < 1\) n'apporte pas plus d'information qu'une variable originale seule.
On trace les valeurs propres en ordre décroissant. On cherche un "coude" — une rupture dans la décroissance. Les axes avant le coude sont à retenir.
5. Visualisation interactive — Scree plot & qualité
Nombre de variables p :
6. Exemple du cours — 16 variables, 27 individus
Voici les valeurs propres de l'exemple du cours de ton prof (budget-temps, 16 variables actives) :
| Axe | λα | % inertie | % cumulé | Kaiser |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3.871 | 24.20% | 24.20% | ✓ λ > 1 |
| 2 | 3.660 | 22.88% | 47.07% | ✓ λ > 1 |
| 3 | 2.006 | 12.54% | 59.61% | ✓ λ > 1 |
| 4 | 1.514 | 9.47% | 69.08% | ✓ λ > 1 |
| 5 | 1.126 | 7.04% | 76.12% | ✓ λ > 1 |
| 6 | 0.837 | 5.23% | 81.35% | ✗ λ < 1 |
| 7 | 0.766 | 4.79% | 86.15% | ✗ λ < 1 |
| … | … | … | … | … |
→ Règle de Kaiser : 5 axes à retenir (λ > 1). Les 2 premiers axes capturent déjà 47% de l'inertie — on observe un "coude" entre les axes 2 et 3.
📌 À retenir / À l'examen
- Taux d'inertie : \(\tau_q = \sum_{k=1}^q \lambda_k / \sum_{k=1}^p \lambda_k\) — mesure la qualité globale
- Cos² individu : \(\psi_{\alpha i}^2 / d^2(i,G)\) — qualité de représentation de l'individu i sur l'axe α
- Cos² variable : \(\varphi_{\alpha j}^2 = \lambda_\alpha u_{\alpha j}^2\) — visible directement dans le cercle des corrélations
- Contribution : \(\text{CTR}_\alpha(i) = \psi_{\alpha i}^2 / (n\lambda_\alpha)\) — qui a "construit" l'axe ? (somme = 1)
- Règle de Kaiser (ACP normée) : garder les axes avec \(\lambda_\alpha > 1\)
- Règle du coude : chercher la rupture dans le décroissement des valeurs propres
- Un individu/variable avec cos² faible est mal représenté — ne pas l'interpréter sur ce plan