Module 2 — ACP · Page 3/7

Espace des variables ℝⁿ Prioritaire

Le nuage des p variables dans ℝⁿ, la distance entre variables, la sphère des corrélations et le cercle des corrélations — le second espace dual de l'ACP.

1. Les variables comme points de ℝⁿ

Vision géométrique

Chaque variable \(j\) peut être vue comme un vecteur de \(\mathbb{R}^n\) : ses \(n\) coordonnées sont les valeurs qu'elle prend pour chaque individu. L'ensemble des \(p\) vecteurs-variables forme un nuage dans \(\mathbb{R}^n\). La proximité entre deux variables traduit leur ressemblance — c'est-à-dire leur corrélation.

Différence avec l'espace ℝᵖ

Dans \(\mathbb{R}^p\), le nuage est centré sur le centre de gravité G. Dans \(\mathbb{R}^n\), le nuage des variables n'est pas centré — l'analyse se fait par rapport à l'origine. C'est la différence fondamentale entre les deux espaces.

2. La distance entre deux variables

Dérivation

La distance euclidienne entre deux variables \(j\) et \(j'\) dans \(\mathbb{R}^n\), après standardisation (données centrées-réduites), se calcule à partir de leur corrélation :

\[ d^2(j,j') = \sum_{i=1}^n (x_{ij} - x_{ij'})^2 = 2(1 - r_{jj'}) \]

xᵢⱼ : données centrées-réduites (avec facteur √n) · rⱼⱼ' : coefficient de corrélation entre j et j'
Démonstration : en développant, \(\sum x_{ij}^2 = \sum x_{ij'}^2 = 1\) et \(\sum x_{ij}x_{ij'} = r_{jj'}\), donc \(d^2 = 1+1-2r_{jj'} = 2(1-r_{jj'})\)

Cette formule remarquable signifie que la distance entre deux variables dépend uniquement de leur corrélation :

r≈1

d² ≈ 0

Variables très proches
fortement corrélées (+)

r≈0

d² ≈ 2

Variables orthogonales
non corrélées

r≈−1

d² ≈ 4

Variables opposées
anticorrélées

3. La sphère des corrélations

Propriété fondamentale

En données centrées-réduites (avec facteur \(\sqrt{n}\)), la distance de chaque variable \(j\) à l'origine est :

\[ d^2(O,j) = \sum_{i=1}^n x_{ij}^2 = 1 \]

Tous les points-variables sont sur une sphère de rayon 1 centrée à l'origine, appelée sphère des corrélations.
En projection sur un plan factoriel, cette sphère donne un cercle des corrélations de rayon 1.

Le cosinus = la corrélation

Le cosinus de l'angle entre deux vecteurs-variables est leur coefficient de corrélation :

\[ \cos(j,j') = \frac{\langle x_j, x_{j'}\rangle}{\|x_j\|\cdot\|x_{j'}\|} = \frac{r_{jj'}}{1 \cdot 1} = r_{jj'} \]

Puisque toutes les variables sont sur la sphère unité, le cosinus de l'angle entre deux variables = leur corrélation. C'est pourquoi le cercle des corrélations permet de lire directement les corrélations par les angles entre flèches.

4. Visualisation — Sphère et cercle des corrélations

Déplace les variables sur le cercle. L'angle entre deux flèches = la corrélation entre ces variables. Observe comment l'angle se lit en corrélation.

▶ Cercle des corrélations — lire les angles

Positionner les variables :

Corrélations

5. Lien entre ℝᵖ et ℝⁿ — récapitulatif

Espace ℝᵖ — individus

· n points-individus
· Centré sur G
· Distance = euclidienne
· Diagonalise C = X'X (p×p)
· Axes uα = vecteurs propres de C

Espace ℝⁿ — variables

· p points-variables
· Analyse par rapport à O
· Distance = 2(1−r)
· Sphère unité de rayon 1
· Cosinus = corrélation

Lien fondamental : Les valeurs propres non nulles de \(X^TX\) et de \(XX^T\) sont identiques. Les axes factoriels dans les deux espaces sont reliés par les formules de transition (voir page suivante).

📌 À retenir / À l'examen

Les p variables sont des points de \(\mathbb{R}^n\), tous sur la sphère unité (données centrées-réduites)
Distance entre variables : \(d^2(j,j') = 2(1-r_{jj'})\) — vient directement de la corrélation
\(r = 1\) → \(d = 0\) · \(r = 0\) → \(d = \sqrt{2}\) · \(r = -1\) → \(d = 2\)
Le cosinus de l'angle entre deux variables = leur corrélation
Dans \(\mathbb{R}^n\) : analyse par rapport à l'origine (pas de centrage, contrairement à \(\mathbb{R}^p\))
Le cercle des corrélations = intersection du plan factoriel avec la sphère unité
Une variable proche du cercle est bien représentée sur le plan factoriel

🧠 Quiz de validation

Deux variables avec \(r = 0.8\). Quelle est leur distance \(d^2\) dans \(\mathbb{R}^n\) ?

Pourquoi tous les points-variables sont-ils sur une sphère de rayon 1 ?

Que signifie une variable proche du bord du cercle des corrélations ?

Deux variables font un angle de 90° dans le cercle des corrélations. Leur corrélation vaut :

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