Module 2 — ACP · Page 2/7

Espace des individus ℝᵖ Prioritaire

Le nuage des n individus dans l'espace des variables, le principe d'ajustement, et la matrice à diagonaliser — cœur du calcul de l'ACP.

1. Le nuage des individus dans ℝᵖ

Vision géométrique

Chaque individu \(i\) est représenté par le vecteur de ses \(p\) mesures : un point dans \(\mathbb{R}^p\). L'ensemble des \(n\) points forme un nuage dont la forme traduit les relations entre individus. Deux individus proches ont des profils similaires pour toutes les variables.

\[ d^2(i,i') = \sum_{j=1}^{p} (x_{ij} - x_{i'j})^2 \]

Distance euclidienne entre deux individus \(i\) et \(i'\) dans \(\mathbb{R}^p\).
Interprétation : deux individus sont proches s'ils ont des valeurs similaires pour toutes les \(p\) variables.

2. Centrage — translation au centre de gravité

Pourquoi centrer

Le principe d'ajustement consiste à maximiser la variance des projections, c'est-à-dire la dispersion autour de la moyenne. On translate donc l'origine au centre de gravité \(G\) du nuage. Le tableau centré \(X\) a pour terme général :

\[ x_{ij} = r_{ij} - \bar{r}_j \qquad \text{avec} \quad \bar{r}_j = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n r_{ij} \]

rᵢⱼ : donnée brute · r̄ⱼ : moyenne de la variable \(j\) · xᵢⱼ : donnée centrée
Propriété clé : \(\sum_{i,i'} d^2(i,i') = 2n \sum_i d^2(i,G)\) — maximiser les distances entre paires est équivalent à maximiser les distances au centre de gravité.

3. ACP normée — réduction des variables

Problème d'échelle

Si les variables ont des unités différentes (cm, kg, €...), celles à grande variance dominent l'analyse. Pour donner un rôle identique à chaque variable, on réduit en divisant par l'écart-type :

\[ x_{ij} = \frac{r_{ij} - \bar{r}_j}{s_j\sqrt{n}} \qquad \text{avec} \quad s_j^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (r_{ij}-\bar{r}_j)^2 \]

Le facteur \(\sqrt{n}\) assure que \(\sum_i x_{ij}^2 = 1\) pour chaque variable — toutes les variables ont la même norme dans \(\mathbb{R}^n\).
Conséquence : la matrice \(C = X^TX\) devient la matrice de corrélation.

4. Visualisation — centrage et nuage

▶ Effet du centrage sur le nuage des individus

Données brutes R

Données centrées X (origine = G)

Déplacer G : x y

La croix jaune = centre de gravité G. Après centrage, G est à l'origine. La forme du nuage ne change pas.

5. La matrice à diagonaliser C = X'X

Dérivation

On cherche le vecteur unitaire \(u\) qui maximise la somme des carrés des projections \(\sum_i (OH_i)^2 = u^T X^T X u\) sous la contrainte \(u^T u = 1\). D'après le théorème des extrema de formes quadratiques sous contrainte quadratique, la solution est le vecteur propre de \(X^TX\) associé à la plus grande valeur propre.

\[ C = X^T X \quad \Longrightarrow \quad C u_\alpha = \lambda_\alpha u_\alpha \]

C : matrice de taille \(p \times p\) (matrice de corrélation en ACP normée)
uα : \(\alpha\)-ième vecteur propre = direction du \(\alpha\)-ième axe principal
λα : \(\alpha\)-ième valeur propre = variance des projections sur cet axe
Les vecteurs propres \(u_1, u_2, \dots, u_p\) sont orthogonaux et de norme 1.

Terme général de C en ACP normée

Le terme général \(C_{jj'}\) de la matrice \(C = X^TX\) est :

\[ C_{jj'} = \sum_{i=1}^n x_{ij} x_{ij'} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{(r_{ij}-\bar{r}_j)}{s_j} \cdot \frac{(r_{ij'}-\bar{r}_{j'})}{s_{j'}} = \text{cor}(j,j') \]

En ACP normée, chaque terme de \(C\) est un coefficient de corrélation empirique. La matrice \(C\) est donc exactement la matrice des corrélations. Sa diagonale vaut 1.

6. Exemple numérique complet

Appliquons la démarche sur un petit dataset — 4 individus, 2 variables.

Données brutes R

Individu	X₁	X₂
i₁	2	4
i₂	4	6
i₃	6	8
i₄	8	2

Étape 1 — Moyennes et écarts-types

\(\bar{x}_1 = \frac{2+4+6+8}{4} = 5\) · \(\bar{x}_2 = \frac{4+6+8+2}{4} = 5\)

\(s_1^2 = \frac{(2-5)^2+(4-5)^2+(6-5)^2+(8-5)^2}{4} = \frac{9+1+1+9}{4} = 5\) → \(s_1 = \sqrt{5}\)

\(s_2^2 = \frac{(4-5)^2+(6-5)^2+(8-5)^2+(2-5)^2}{4} = 5\) → \(s_2 = \sqrt{5}\)

Étape 2 — Données centrées-réduites X (avec facteur √n = 2)

Individu	x₁ = (r₁−5)/(√5·2)	x₂ = (r₂−5)/(√5·2)
i₁	−3/(2√5)	−1/(2√5)
i₂	−1/(2√5)	1/(2√5)
i₃	1/(2√5)	3/(2√5)
i₄	3/(2√5)	−3/(2√5)

Étape 3 — Matrice de corrélation C = X'X

\(C_{11} = \sum x_{i1}^2 = \frac{9+1+1+9}{20} = 1\) · \(C_{22} = 1\) (vérification : diagonale = 1 ✓)

\(C_{12} = \sum x_{i1}x_{i2} = \frac{(-3)(-1)+(- 1)(1)+(1)(3)+(3)(-3)}{20} = \frac{3-1+3-9}{20} = \frac{-4}{20} = -0.2\)

\(C = \begin{pmatrix}1 & -0.2 \\ -0.2 & 1\end{pmatrix}\)

Étape 4 — Valeurs propres de C

\(\det(C - \lambda I) = (1-\lambda)^2 - 0.04 = 0\)

\((1-\lambda) = \pm 0.2\) → \(\lambda_1 = 1.2\) et \(\lambda_2 = 0.8\)

Vérification : \(\lambda_1 + \lambda_2 = 2 = p\) ✓ (ACP normée, somme = p)

Interprétation

Le premier axe capte \(\frac{1.2}{2} = 60\%\) de l'inertie totale. Le second \(40\%\). Les variables sont légèrement anticorrélées (\(r = -0.2\)).

7. Calculateur interactif — matrice de corrélation

▶ Calcule C = X'X à partir de tes données

Modifie les données brutes (5 individus × 2 variables). La matrice de corrélation se calcule en temps réel.

Données brutes R

	X₁	X₂

Matrice de corrélation C

—

Valeurs propres λ

—

Taux d'inertie axe 1

—

📌 À retenir / À l'examen

Chaque individu = un point dans \(\mathbb{R}^p\). La distance entre deux individus = distance euclidienne.
Centrage : \(x_{ij} = r_{ij} - \bar{r}_j\) — translate l'origine au centre de gravité G
ACP normée : \(x_{ij} = (r_{ij}-\bar{r}_j)/(s_j\sqrt{n})\) — toutes les variables ont la même norme
Matrice à diagonaliser : \(C = X^TX\) — en ACP normée, c'est la matrice de corrélation
Terme général : \(C_{jj'} = \text{cor}(j,j')\) — la diagonale vaut toujours 1
Les axes principaux \(u_\alpha\) = vecteurs propres de \(C\), la variance sur l'axe = valeur propre \(\lambda_\alpha\)
Propriété fondamentale : \(\sum_{i,i'} d^2(i,i') = 2n \sum_i d^2(i,G)\)

🧠 Quiz de validation

En ACP normée, que représente le terme \(C_{jj'}\) de la matrice \(C = X^TX\) ?

Maximiser la variance des projections sur un axe \(u\) revient à maximiser :

Pourquoi le centrage (translation au centre de gravité G) est-il nécessaire en ACP ?

En ACP normée avec \(p=5\) variables, que valent \(\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_5\) et la valeur de \(C_{jj}\) ?

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