Module 2 — ACP · Page 6/7

Individus & Variables supplémentaires

Projeter de nouveaux éléments dans un espace factoriel déjà construit — sans modifier les axes.

1. Pourquoi des éléments supplémentaires ?

L'idée

Une fois l'ACP réalisée sur un tableau principal \(X\), on peut projeter a posteriori de nouveaux éléments dans l'espace factoriel sans les avoir inclus dans la construction des axes. Ces éléments sont dits supplémentaires (ou illustratifs) — ils enrichissent l'interprétation sans influer sur les résultats.

Individus supplémentaires

Nouveaux individus à projeter dans \(\mathbb{R}^p\). Exemples : individus avec données incomplètes, nouvelles observations à positionner par rapport aux groupes existants.

Variables supplémentaires

Nouvelles variables à projeter dans \(\mathbb{R}^n\). Peuvent être continues (corrélées aux axes) ou nominales (représentées par leurs centres de gravité).

2. Individus supplémentaires

Méthode

Pour projeter un individu supplémentaire \(i^+\), on le centre-réduit avec les statistiques des individus actifs (moyenne \(\bar{r}_j\) et écart-type \(s_j\) calculés sur les \(n\) individus d'origine), puis on applique la même transformation que pour les individus actifs.

\[ x^+_{ij} = \frac{r^+_{ij} - \bar{r}_j}{s_j\sqrt{n}} \qquad \text{puis} \qquad F^+ = X^+_{\text{ind}} \cdot U \]

r⁺ᵢⱼ : valeur brute de l'individu supplémentaire · r̄ⱼ, sⱼ : moyenne et écart-type calculés sur les individus actifs
U : matrice des vecteurs propres des individus actifs · F⁺ : coordonnées factorielles de l'individu supplémentaire
Important : on utilise les statistiques des actifs — l'individu supplémentaire n'influence pas les axes.

Centrer-réduire avec les stats des actifs

Calculer \(x^+_{ij} = (r^+_{ij} - \bar{r}_j) / (s_j\sqrt{n})\) pour chaque variable \(j\).

Projeter sur les axes

Les coordonnées factorielles sont \(\psi^+_\alpha = \sum_j x^+_{ij} \cdot u_{\alpha j} = x^+_i \cdot u_\alpha\) (produit scalaire).

Positionner dans le plan

Placer le point \((\psi^+_1, \psi^+_2)\) dans le plan factoriel des actifs et interpréter sa position relative.

3. Variables continues supplémentaires

Méthode

Pour une variable continue supplémentaire \(j^+\), on calcule sa corrélation avec chaque composante principale. Ces corrélations sont ses coordonnées dans le cercle des corrélations.

\[ \varphi^+_{\alpha j} = \text{cor}(j^+, \psi_\alpha) = \frac{\sum_i x^+_{ij} \cdot \psi_{\alpha i}}{\sqrt{\sum_i (x^+_{ij})^2 \cdot \sum_i \psi_{\alpha i}^2}} \]

Ou de façon équivalente : centrer-réduire la variable supplémentaire avec ses propres stats, puis calculer \(\langle \vec{x}^+_j, \vec{u}_\alpha \rangle\).
La coordonnée obtenue est dans \([-1, 1]\) et se lit directement dans le cercle des corrélations.

4. Variables nominales supplémentaires

Principe — centre de gravité des modalités

Pour une variable qualitative (nominale) supplémentaire, chaque modalité est représentée par le centre de gravité des individus actifs appartenant à cette modalité dans l'espace factoriel.

\[ G_k = \frac{1}{n_k} \sum_{i \in \text{modalité } k} \psi_i \]

Gk : coordonnées factorielles du centre de gravité de la modalité \(k\)
nk : nombre d'individus dans la modalité \(k\)
ψᵢ : coordonnées factorielles des individus actifs
Les modalités sont représentées comme des individus supplémentaires dans le plan factoriel.

Exemple — variable "sexe" (H/F) supplémentaire

Si sur 10 individus, 4 hommes ont pour coordonnées F1 = (1.2, 0.8, −0.5, 2.1) et 6 femmes ont F1 = (−0.3, −1.2, 0.4, −0.8, 1.1, −0.5) :

Centre de gravité Hommes : \(G_H = (1.2+0.8−0.5+2.1)/4 = 3.6/4 = 0.9\)

Centre de gravité Femmes : \(G_F = (−0.3−1.2+0.4−0.8+1.1−0.5)/6 = −1.3/6 ≈ −0.22\)

→ Les hommes sont du côté positif de F1, les femmes du côté négatif.

5. Visualisation — projection d'un individu supplémentaire

▶ Projeter un individu supplémentaire dans le plan factoriel

Coordonnées de l'individu supplémentaire (déjà centré-réduit) :

x₁ (var 1) 1.5

x₂ (var 2) -1.0

Coordonnées factorielles

F1 : —

F2 : —

L'individu supplémentaire ★ est projeté selon les axes déjà construits — il ne modifie pas leur direction.

Type	Espace	Formule	Résultat
Individu supp.	ℝᵖ	F⁺ = X⁺ · U	Point dans le plan factoriel
Variable continue supp.	ℝⁿ	cor(j⁺, ψα)	Flèche dans le cercle des corrélations
Variable nominale supp.	ℝᵖ	Gk = moy(ψᵢ, i∈k)	Centres de gravité des modalités